Laplacian Operators

一般遇到的laplacian operators有两个：
(1).[Taubin 95] "A Signal Processing Approach to Fair Surfac Design"中提出的Uniform Laplacian, also known as Tuttle Laplacian.使用的就是uniform weighted,将邻域顶点的坐标加和再平均。这是最简单的拉普拉斯算子。
(2) [Desbrun 99] "implicit fairing of irregular meshes using diffusion and curvature flow"中提出的Cotangent Laplacian. 使用的正是常说的Cotangent weight.

Laplacian Coordinate将一个laplacian operator应用到一个vertex就获得这个vertex的laplacian coordiante(这是一个向量),而这个laplacian operator的系数, 也就是the so-called laplacian coefficients.我的感觉是：某个vertex上的laplacian值反映了这个顶点于其邻域(neighborhood vertices)的关系。PS. 所谓的邻域，常见的为一个顶点的one-ring neigborhood.

我所come across的应用：
(1)利用Cotangent weight求Discrete Mean Curvature Normal of a vertex(这也是一个向量值)。H(vi) = (1/Area(vi) * [laplacian coordinate(vi)]；其的大小(标量值)就是某个顶点的mean curvature.这好像是反应了mesh model的固有特征。通过求解model中的顶点mean curvature值，可以直观的看到这个model的光顺性(这是我以为的,现不知对否）。在许多论文中，提到Laplacian operator的时候都常提到Mean Curvature.
(2)Laplacian smoothing常说的平滑smoothing可能包括了denoise and fairing两种。我暂时取狭义的denoise为smoothing。Laplacian smoothing：the classical Laplacian smoothing, where every new vertex of the meshis moved to the barycenter of its neighbors.vertex_new_position(vi) = vertex_old_position(vi) + laplacian_normal(vi);
(3)laplacian surface editting[O.Sorkine 2004].其实我正是看此paper的时候才开始认真查阅laplacian的信息的。当中拟合surface editting前后的laplacian coordiante of vertices来达到目的。可惜自己理解不够。